Question

三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象如图所示，直线BD∥AC，且直线BD与函数图象切于点B，交于点D，直线AC与函数图象切于点C，交于点A．
（1）若函数f（x）为奇函数且过点（1，-3），当x＜0时求的最大值；
（2）若函数在x=1处取得极值-2，试用c表示a和b，并求f（x）的单调递减区间；
（3）设点A、B、C、D的横坐标分别为x_A，x_B，x_C，x_D求证    （x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1．

Answer

（1）直接由函数f（x）为奇函数且过点（1，-3），得到a=c=0，b=-4，代入并整理，再结合基本不等式即可求出其最大值；
（2）先求出其导函数，根据函数在x=1处取得极值-2，得到；在代入其导函数，通过比较导数等于0的两个根的大小求出函数的单调递减区间；
（3）先设直线BD的方程为y=f′（xB）（x-xB）+f（xB），结合D点在直线上又在曲线上，得到xD+2xB+a=0；同理得到xA+2xC+a=0；进而求出（xA-xB）+（xC-xD）=（xB-xC），最后结合直线BD∥AC得到，结合上面所找的结论即可证得（xA-xB）：（xB-xC）：（xC-xD）=1：2：1．
【解析】
（1）由已知得a=c=0，b=-4，
当x＜0时当且仅当x=-2时取得最大值-4（3分）
（2）f′（x）=3x2+2ax+b，依题意有（5分）
从而f′（x）=3x2+2cx-（2c+3）=0=（3x+（2c+3））（x-1），
令f′（x）=0有x=1或
由于f（x）在x=1处取得极值，因此，得到c≠-3
①若，即c＜-3，
则当时，f′（x）＜0，因此f（x）的单调递减区间为；       （7分）
②若，即c＞-3，
则当时，f′（x）＜0，因此f（x）的单调递减区间为．（8分）
（3）证明：设直线BD的方程为y=f′（xB）（x-xB）+f（xB）因为D点在直线上又在曲线上，
所以f（xD）=f′（xB）（xD-xB）+f（xB）
即（xD3+axD2+bxD+c）-（xB3+axB2+bxB+c）=（3xB2+2axB+b）（xD-xB）
得到：xD2+xDxB-2xB2+axD-axB=0从而xD+2xB+a=0，①
同理有xA+2xC+a=0    ②，
由于AC平行于BD，因此f′（xB）=f′（xC），得到
进一步结合①②化简可以得到，从而xA-xB=xC-xD
又由①②得：（xA-xB）+（xC-xD）=（xB-xC），
因此（xA-xB）：（xB-xC）：（xC-xD）=1：2：1（14分）