Question

已知点集，其中=（2x-b，1），=（1，b+1），点列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁为L与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1，n∈N^*．
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，令S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）；试写出S_n关于n的函数解析式；

Answer

（I）首先运用向量数量积的运算得=（2x-b）+（b+1）=2x+1，然后再根据等差通项公式得an=a1+（n-1）×1=n-1，最后在根据bn=2an+1，得bn=2n-1
（Ⅱ）此小问关键在于分类讨论（1）当n=2k时（2）当n=2k-1时然后根据等差求和公式即可
解（Ⅰ）y=•=（2x-b）+（b+1）=2x+1
∵y=2x+1与y轴的交点P1（a1，b1）为（0，1）
∴a1=0；
∵等差数列{an}的公差为1
∴an=a1+（n-1）×1，即an=n-1，
因为Pn（an，bn）在y=2x+1上，所以bn=2an+1，即bn=2n-1
（Ⅱ）
由题意得：
即f（n）=

（1）当n=2k时，Sn=S2k=a1+b2+a3+b4++a2k-1+a2k
=（a1+a3++a2k-1）+（b2+b4++b2k）
==3k2，
而，所以

（2）当n=2k-1时，Sn=S2k-1=（a1+a3++a2k-1）+（b2+b4++b2k-2）
==3k2-4k+1，
而，所以
因此（k∈N*）