Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=a（a＞0），数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1（n∈N^*）
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，且b₃=12，求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）若{a_n}是等比数列，求数列{b_n}的前n项和S_n．
（Ⅲ）若{b_n}是公比为a-1的等比数列时，{a_n}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）在bn表达式中取n=3，结合等差数列的通项公式解出公差d，从而得出数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）由等比数列的通项公式求出数列{an}的通项公式，再代入bn=anan+1 ，得出数列{bn}的通项公式，最后用等比数列求和公式算出结果；
（Ⅲ）先假设命题正确，再利用数列{an}的前3项得出矛盾，从而说明，数列{an}不能为等比数列．
【解析】
（Ⅰ）∵{an}是等差数列a1=1，a2=a，bn=anan+1，b3=12
∴b3=a3a4=（a1+2d）（（a1+3d）=（1+2d）（1+3d）=12
即d=1或d=
又因a=a1+d=1+d＞0得d＞-1
∴d=1
∴an=n（4分）
（Ⅱ）{an}是等比数列，首项a1=1，a2=a，故公比，
所以an=an-1，代入{bn}的表达式得
bn=anan+1=a2n-1，可得
∴数列{bn}是以a为首项，公比为 a2的等比数列

故Sn=（5分）
（Ⅲ）{an}不能为等比数列，理由如下：
∵bn=anan+1，{bn}是公比为a-1的等比数列
∴
∴a3=a-1
假设{an}为等比数列，由a1=1，a2=a得a3=a2，所以a2=a-1
因此此方程无解，所以数列一定不能等比数列．（14分）