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如图,在多面体ABCDE中,DB⊥平面ABC,AE∥DB,且△ABC是边长为2的等边三角形,AE=1,CD与平面ABDE所成角的正弦值为manfen5.com 满分网
(1)在线段DC上是否存在一点F,使得EF⊥面DBC,若存在,求线段DF的长度,若不存在,说明理由;
(2)求二面角D-EC-B的平面角的余弦值.

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(Ⅰ)取AB的中点G,连接CG,则CG⊥AB,由DB⊥平面ABC,知DB⊥CG,所以CG⊥面ABDE,,CG=,故CD=,,由此能够得到存在F为CD中点,DF=时,使得EF⊥面DBC. (Ⅱ)以B为原点,BA为x轴,BD为z轴,建立空间直角坐标系,则=(2,0,1),=,.求出平面BCE的法向量和平面CDE的法向量,由向量法能求出二面角D-EC-B的余弦值. 【解析】 (Ⅰ)取AB的中点G,连接CG,则CG⊥AB, ∵DB⊥平面ABC,∴DB⊥CG, 所以CG⊥面ABDE, 所以,CG=, 故CD=,(3分) 取CD的中点为F,BC的中点为H, 因为,, 所以AEFH为平行四边形,得EF∥AH,(5分) 平面BCD ∴EF⊥面DBC 存在F为CD中点,DF=时,使得EF⊥面DBC.(7分) (Ⅱ)以B为原点,BA为x轴,BD为z轴,建立空间直角坐标系, ∵在多面体ABCDE中,DB⊥平面ABC,AE∥DB, 且△ABC是边长为2的等边三角形,AE=1, CD与平面ABDE所成角的正弦值为. ∴、B(0,0,0)、E(2,0,1)、D(0,0,2), 从而=(2,0,1),=,.(8分) 设为平面BCE的法向量, 则可以取(10分) 设为平面CDE的法向量, 则取(11分) 因此,,(13分) 故二面角D-EC-B的余弦值为(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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