Question

已知函数，且函数f（x）在区间（-1，1）上单调递增，在区间（1，3）上单调递减．
（Ⅰ）若b=-2，求c的值；
（Ⅱ）求证：c≥3．

Answer

（1）由题意得x=1是函数的一个极值点，先求导数fˊ（x），根据f‘（1）=0即可求得c；
（2）根据第一问可知b=-，将其代入f（x）进行化简整理，研究它的单调区间，结合图象法求出c的范围．
【解析】
（Ⅰ）由已知可得f'（1）=0
又f'（x）=x2+2bx+c
f'（1）=1+2b+c=0，
将b=-2代入，可得c=3
（Ⅱ）可知b=-，代入f′（x）可得f′（x）=x2-（c+1）x+c．
令f'（x）=0，则x1=1，x2=c．
又当-1＜x＜1时，f'（x）≥0，当1＜x＜3时，f'（x）≤0
如图所示；
易知c≥3．