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已知点B(0,1),点C(0,-3),直线PB、PC都是圆(x-1)2+y2=1...

已知点B(0,1),点C(0,-3),直线PB、PC都是圆(x-1)2+y2=1的切线(P点不在y轴上).以原点为顶点,且焦点在x轴上的抛物线C恰好过点P.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点(1,0)作直线l与抛物线C相交于M,N两点,问是否存在定点R,使manfen5.com 满分网为常数?若存在,求出点R的坐标及常数;若不存在,请说明理由.
(1)设出直线的方程,根据圆心到直线的距离为半径1求得k,则PC的方程可得,与方程y=1联立求得点P的坐标,则抛物线的方程可得. (2)设直线l的方程代入抛物线方程并整理,设出M,N的坐标,根据韦达定理求得y1+y2和y1y2的表达式,设R(x,y), 进而表示出进而可推断出当x=y=0时上式是一个与m无关的常数.断定存在定点R(0,0),相应的常数是. 【解析】 (1)设直线PC的方程为:y=kx-3, 由得,所以PC的方程为 由得P点的坐标为(3,1). 可求得抛物线的方程为. (2)设直线l的方程为x=my+1, 代入抛物线方程并整理得 设M(x1,y1),N(x2,y2),则 设R(x,y), 则=(x1-x)(x2-x)+(y1-y)(y2-y) =(my1+1-x)(my2+1-x)+(y1-y)(y2-y) =m2y1y2+m(1-x)(y1+y2)+(1-x)2+y1y2-y(y1+y2)+y2 =. 当x=y=0时上式是一个与m无关的常数. 所以存在定点R(0,0),相应的常数是.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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