Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证：．
（2）若x∈[0，1]，则函数y=f（x）的图象上的任意一点的切线的斜率为k，求证：成立的充要条件．

Answer

（1）设函数y=f（x）的图象上任意不同的两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），不妨设x1＞x2，利用图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，推出：x12+（x2-a）x1+x22-ax2+1＞0，通过两次△＜0推出-
（2）通过函数的导数就是函数y=f（x）的图象上的任意一点的切线的斜率为k，利用|k|≤1，与相互充要故选证明即可．
【解析】
（1）设函数y=f（x）的图象上任意不同的两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），
不妨设x1＞x2，
则，即＜1，
∴＜1
整理得：x12+（x2-a）x1+x22-ax2+1＞0
∵x1∈R
∴△=（x2-a）2-4（x22-ax2+1）＜0即3x22-2ax2-a2+4＞0
∵x2∈R
∴△=4a2-12（-a2+4）＜0即a2-3＜0
∴-
（2）k=f'（x）=-3x2+2ax，则当x∈[0，1]时，|k|≤1⇔-1≤-3x2+2ax≤1
⇔或或
解得：1≤a≤，故|k|≤1成立的充要条件是．