Question

已知函数f（x）=sinx-cosx，x∈R．
（1）求函数f（x）在[0，2π]内的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在x=x处取到最大值，求f（x）+f（2x）+f（3x）的值；
（3）若g（x）=e^x（x∈r），求证：方程f（x）=g（x）在[0，+∞）内没有实数解．
（参考数据：ln2≈0.69，π≈3.14）

Answer

（1）在f（x）中提出凑出两角和的正弦公式，利用两角差的正弦公式化简f（x）；令整体角在正弦的递增区间上，求出x的范围即为递增区间．
（2）通过整体角处理的方法，令整体角等于求出角x，代入求出f（x）+f（2x）+f（3x）的值．
（3）通过分段讨论求出两个函数的最值，判断出两个函数的交点情况，得到方程解的情况．
【解析】
（1）f（x）=sinx-cosx=，
令
则，（2分）
由于X∈[0，2π]，则f（x）在[0，2π]内的单调递增区间为；
（2）依题意，，（6分）
由周期性，f（x）+f（2x）+f（3x）
=；（8分）
（3）函数g（x）=ex（x∈R）为单调增函数，
且当时，f（x）≤0，g（x）=ex＞0，此时有f（x）＜g（x）；（10分）
当时，由于≈0.785，而≈0.345，
则有，即，
又Qg（x）为增函数，∴当时，（12分）
而函数f（x）的最大值为，即，
则当时，恒有f（x）＜g（x），
综上，在[0，+∞）恒有f（x）＜g（x），
即方程f（x）=g（x在[0，+∞）内没有实数解．（14分）