Question

已知函数（x∈R）的图象为曲线C．
（1）求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围；
（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围；
（3）证明：不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线．

Answer

（1）据切点处的导数值为曲线切线斜率，求导函数的范围也就是切线斜率范围．
（2）互相垂直的切线斜率互为负倒数，由（1）求斜率范围，据切点处的导数值为曲线切线斜率，求切点横坐标范围．
（3）据切点处的导数值为曲线切线斜率，求出两切点处的两条直线，它们的斜率相等和纵截距得矛盾．
【解析】
（1）f′（x）=x2-4x+3，
则f′（x）=（x-2）2-1≥-1，
即过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是[-1，+∞）；
（2）由（1）可知，
解得-1≤k＜0或k≥1，
由-1≤x2-4x+3＜0或x2-4x+3≥1
得：；
（3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2
，则切线方程是：y-=（x12-4x1+3）（x-x1），
化简得：y=（x12-4x1+3）x
而过B（x2，y2）的切线方程是y=（x22-4x2+3）x，
由于两切线是同一直线，
则有：x12-4x1+3=x22-4x2+3，得x1+x2=4，
又由=，
即-+2（x1-x2）（x1+x2）=0
-，即x1（x1+x2）+x22-12=0
即（4-x2）×4+x22-12=0×4+x22-12=0，x22-4x2+4=0
得x2=2，但当x2=2时，由x1+x2=4得x1=2，这与x1≠x2矛盾．
所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．