Question

如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE的延长线交BC于F．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若△BEF的面积为S₁，四边形CDEF的面积为S₂，求S₁：S₂的值．

Answer

（Ⅰ）过D点作DG∥BC，并交AF于G点，则易根据E是BD的中点，可得，△BEF≌△DEG，由全等三角形的性质可将BF：FC转化为DG：FC，再由平行线分线段成比例定理即可得到答案．
（II）△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，由（I）的结论，我们可以求出两个三角形的底边长之比，及高之比，进而求出△BEF的面积S1，四边形CDEF的面积S2的比值．
【解析】
（Ⅰ）过D点作DG∥BC，并交AF于G点，∵E是BD的中点，∴BE=DE，
又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，∴△BEF≌△DEG，则BF=DG，∴BF：FC=DG：FC，
又∵D是AC的中点，则DG：FC=1：2，则BF：FC=1：2；即（5分）
（Ⅱ）若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，则由（1）知BF：BC=1：3，
又由BE：BD=1：2可知h1：h2=1：2，其中h1、h2分别为△BEF和△BDC的高，
则，则S1：S2=1：5．（10分）