Question

已知点P为圆x²+y²=4上的动点，且P不在x轴上，PD⊥x轴，垂足为D，线段PD中点Q的轨迹为曲线C，过定点M（t，0）（0＜t＜2）任作一条与y轴不垂直的直线l，它与曲线C交于A、B两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）试证明：在x轴上存在定点N，使得∠ANB总能被x轴平分．

Answer

（1）设Q（x，y）为曲线C上的任意一点，根据点P（x，2y）在圆x2+y2=4上，得出x，y之间的关系即为曲线C的方程；
（2）设点N的坐标为（n，0），直线l的方程为x=sy+t，将直线l的方程代入曲线C的方程消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根系数的关系利用“要使∠ANB被x轴平分，只要kAN+kBN=0”即可证得在x轴上存在定点N，使得∠ANB总能被x轴平分，从而解决问题．
【解析】
（1）设Q（x，y）为曲线C上的任意一点，则点P（x，2y）在圆x2+y2=4上，
∴x2+4y2=4，曲线C的方程为．（2分）
（2）设点N的坐标为（n，0），直线l的方程为x=sy+t，（3分）
代入曲线C的方程，可得（s2+4）y2+2tsy+t2-4=0，（5分）
∵0＜t＜2，∴△=（2ts）2-4（s2+4）（t2-4）=16（s2+4-t2）＞0，
∴直线l与曲线C总有两个公共点．（也可根据点M在椭圆C的内部得到此结论）（6分）
设点A，B的坐标分别（x1，y1），（x2，y2），
则，
要使∠ANB被x轴平分，只要kAN+kBN=0，（9分）
即，y1（x2-n）+y2（x1-n）=0，（10分）
也就是y1（sy2+t-n）+y2（sy1+t-n）=0，2sy1y2+（t-n）（y1+y2）=0，
即，即只要（nt-4）s=0（12分）
当时，（*）对任意的s都成立，从而∠ANB总能被x轴平分．（13分）
所以在x轴上存在定点，使得∠ANB总能被x轴平分．（14分）