Question

已知函数f（x）在其定义域上满足xf（x）+2af（x）=x+a-1（a＞0）．
（1）函数y=f（x）的图象是否是中心对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）；
（2）当时，求x的取值范围；
（3）若f（0）=0，数列{a_n}满足a₁=1，那么：
①若0＜a_n+1≤f（a_n），正整数N满足n＞N时，对所有适合上述条件的数列{a_n}，恒成立，求最小的N；
②若a_n+1=f（a_n），求证：．

Answer

（1）依题意有（x+2a）f（x）=x+a-1．若x=-2a，得a=-1，这与a＞0矛盾，故x≠-2a，所以，由此知y=f（x）的图象是中心对称图形，并能求出其对称中心．
（2）由，知，由a＞0，能求出x的取值范围．
（3）①由f（0）=0得a=1，故．由，得．令，则bn+1≥2bn，由此能求推导出满足题设要求的最小正整数．
②由，知，，，故当n=1，2时，不等式成立．当n≥2时，由，能够证明．
【解析】
（1）依题意有（x+2a）f（x）=x+a-1．
若x=-2a，则x+a-1=-a-1=0，得a=-1，这与a＞0矛盾，
∴x≠-2a，
∴，
故y=f（x）的图象是中心对称图形，其对称中心为点（-2a，1）．
（2）∵，
∴即
又∵a＞0，∴
得x∈[2，3a+5]．
（3）①由f（0）=0得a=1，
∴．
由得，
即．
令，则bn+1≥2bn，
又∵an＞0，∴bn＞0，∴．
∵a1=1，∴b1=2，
∴当n≥2时，．
又∵b1=2也符合bn≥2n，
∴bn≥2n（n∈N*），即，
得．
要使恒成立，
只需，即2n＞11，
∴n＞3．故满足题设要求的最小正整数N=3．
②由①知，
∴，
，
，
∴当n=1，2时，不等式成立．
当n≥2时，
∵，
∴，
∴
=．