Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁为菱形，∠A₁AB=60°，四边形BCC₁B₁为矩形，若AB⊥BC且AB=4，BC=3
（1）求证：平面A₁CB⊥平面ACB₁；
（2）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer

（1）要证平面A1CB⊥平面ACB1；可以通过证出AB1⊥平面A1CB而得到．因为四边形A1ABB1为菱形，所以A1B⊥AB1．若证出CB⊥AB1则可，由已知，利用CB⊥面A1ABB1，可实现．
（2）可将三棱柱ABC-A1B1C1中补上同等体积的几何体A1C1D1-ACD．构成四棱柱A1B1C1D1-ABCD，而四棱柱A1B1C1D1-ABCD 视为以菱形A1ABB1为底面，CB为高的几何体，体积易求．
【解析】
（1）证明：∵四边形BCC1B1为矩形，∴B1B⊥CB，
又AB⊥CB，B1B∩AB=B
∴CB⊥面A1ABB1，AB1⊂A1ABB1，
∴CB⊥AB1，
∵四边形A1ABB1为菱形，∴A1B⊥AB1，且CB∩A1B=B，
∴AB1⊥平面A1CB，∵AB1⊂平面ACB1，
∴平面A1CB⊥平面ACB1；
 （2）过点A作BC的平行线，过C作BA的平行线，两线交于点D，
则四边形ABCD为平行四边形．
同样地作图得出A1B1C1D1为平行四边形．
连接D1D，即将三棱柱ABC-A1B1C1中补上了同等体积的几何体A1C1D1-ACD．构成四棱柱A1B1C1D1-ABCD，
由（1）中CB⊥面A1ABB1，看作以A1ABB1为底面，以BC为高的四棱柱．
∴V三棱柱ABC-A1B1C1=V四棱柱A1B1C1D1-ABCD
=S菱形A1ABB1×CB
=×4×4sin60°×3
=12．