Question

D．选修4-5：不等式证明选讲
对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，试求实数x的取值范围．

Answer

由题意可得|x-1|+|x-2|小于或等于  的最小值，而  的最小值等于2，故x的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2的解，根据数轴上的 、 对应点到1和2对应点的距离之和等于2，可得不等式的解集．
【解析】
由题知，|x-1|+|x-2| 恒成立，
故|x-1|+|x-2|小于或等于  的最小值．
∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|，当且仅当 （a+b）（a-b）≥0 时取等号，
∴ 的最小值等于2，
∴x的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2的解．
由于|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的 、 对应点到
1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为[，]．