Question

已知点A（-1，0）、B（1，0）和动点M满足：∠AMB=2θ，且|AM|•|BM|cos²θ=3，动点M的轨迹为曲线C，过点B的直线交C于P、Q两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）求△APQ面积的最大值．

Answer

（1）设出M的坐标，利用余弦定理求得|AM|2+|BM2|-2|AM|•|BM|cos2θ=4整理求得|AM|+|BM|为定值，利用椭圆的定义可推断出点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，进而求得a和c，则b可求，进而求得椭圆的方程．
（2）设直线PQ方程与椭圆的方程联立消去x，设出P，Q的坐标利用韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而求得（y1-y2）2的表达式，令t=3m2+3，利用y=t+的单调性求得（y1-y2）2的范围，进而代入三角形面积公式求得面积的最大值．
【解析】
（1）设M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ，
由余弦定理可得|AM|2+|BM2|-2|AM|•|BM|cos2θ=4，
整理变形可得|AM|+|BM|=4，
因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a=2，c=1
∴曲线C的方程为
（2）设直线PQ方程为x=my+1（m∈R）由得：（3m2+4）y2+6my-9=0
显然，方程①的△＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有S=×2×|y1-y2|=|y1-y2|
y1+y2=-，y1y2=-
（y1-y2）2=（y1+y2）2-4y1y2=48×
令t=3m2+3，则t≥3，（y1-y2）2=
由于函数y=t+在[3，+∞）上是增函数，∴t+≥
故（y1-y2）2≤9，即S≤3
∴△APQ的最大值为3