Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n是二项式（1+2x）²ⁿ（n∈N^*）展开式中含x奇次幂的系数和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（n）=，求c_n=f（0）+f（）+f（）+…+f（），求++…+的值．

Answer

（1）记（1+2x）2n=a+a1x+…+a2nx2n，利用赋值可分别令x=1得：32n=a+a1+…+a2n，令x=-1得：1=a-a1+a2-a3+…-a2n-1+a2n两式相减得：32n-1=2（a1+a3+…+a2n-1），从而可求
（2）由（1）可得 ，注意到f（n）+f（1-n）=，从而可考虑利用倒序相加求和，再利用裂项法可求++…+的值
（1）【解析】
记（1+2x）2n=a+a1x+a2x2+…+a2n-1x2n-1+a2nx2n
令x=1得：32n=a+a1+a2+…+a2n-1+a2n
令x=-1得：1=a-a1+a2-…-a2n-1+a2n
两式相减得：32n-1=2（a1+a3+…+a2n-1）
∴Sn=（9n-1）（4分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4×9n-1当n=1时，a1=S1=4，适合上式
∴an=4×9n-1（n∈N）    （6分）
（2）【解析】
f（n）==
注意到f（n）+f（1-n）=+=+=    （8分）
cn=f（0）+f（）+f（）+…+f（），
可改写为cn=f（）+f（）+…+f（）+f（0）
∴2cn=[f（0）+f（）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]+[f（）+f（0）]
故cn=，即f（0）+f（）+f（）+…+f（）=   （8分）
∴==36×（-）
++…+
=36×[（-）+（-）+…+（-）    （12分）
=36×（-）]=18-（14分）