Question

设定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx，当时，f （x）取得极大值，并且函数y=f′（x）为偶函数．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象的切线斜率为7，求切线的方程．

Answer

（Ⅰ）利用y=f′（x）为偶函数求出b，再利用当时，f （x）取得极大值，找到关于a，c的方程解出a，c即可．
（Ⅱ）利用切线斜率就是对应导函数的值求出切点的横坐标，在代入原函数求出切点坐标即可．
【解析】
（Ⅰ）∵f′（x）=3ax2+2bx+c为偶函数，∴f'（-x）=f'（x），
∴3ax2-2bx+c=3ax2+2bx+c，∴2bx=0对一切x∈R恒成立，
∴b=0，∴f（x）=ax3+cx．
又当x=-时，f（x）取得极大值．
∴，解得
∴f（x）=x3-x，f¢（x）=2x2-1．（6分）
（Ⅱ）设切点为（x，y），
则有2x2-1-7⇒x=±2，对应．（9分）
所以切线方程为=7（x±2），
化简得：y=7x±．（12分）