Question

为赢得2010年上海世博会的制高点，某公司最近进行了世博特许产品的市场分析，调查显示，该产品每件成本9元，售价为30元，每天能卖出432件，该公司可以根据情况可变化价格x（-30≤x≤54）元出售产品；若降低价格，则销售量增加，且每天多卖出的产品件数与商品单价的降低值|x|的平方成正比，已知商品单价降低2元时，每天多卖出24件；若提高价格，则销售减少，减少的件数与提高价格x成正比，每提价1元则每天少卖8件，且仅在提价销售时每件产品被世博管委会加收1元的管理费．
（Ⅰ）试将每天的销售利润y表示为价格变化值x的函数；
（Ⅱ）试问如何定价才能使产品销售利润最大？

Answer

（1）根据“每天多卖出的产品件数与商品单价的降低值|x|的平方成正比”和“商品单价降低2元时，每天多卖出24件”，建立降价多卖产品的模型，再根据销售利润的构成，建立利润函数模型．当提价x时，由“销售减少，减少的件数与提高价格x成正比，每提价1元则每天少卖8件，”，建立少卖产品的模型，再由销售利润的构成建立利润函数模型，构造分段函数．
（2）根据（1）按分段函数求最值来完成，思路是求每一段的最大值，然后从中取最大的作为原函数的最大值．
【解析】
（1）当降价|x|时，则多卖产品kx2，由已知得：24=kx2=4k⇒k=6，
所以f（x）=（30+x-9）（432+6x2）=6（x3+21x2+72x+1512）（3分）
当提价x时，f（x）=（30+x-10）•（432-8x）=-8x2+272x+8640，（2分）
所以（6分）
（2）当降价销售时，
f（x）=6（x3+21x2+72x+1512），
f'（x）=18（x2+14x+24）=18（x+12）（x+2）=0⇒x1=-12，x2=-2，
所以有
即f（x）在x=-12处取得唯一极大值f（-12）=11664，
∴f（x）max=11664，（9分）
当提价销售时，f（x）=-8x2+272x+8640=-8（x2-34x）+8640=-8[（x-17）2]+10952≤10952＜11664（11分）
所以当定价18元时，销售额最大．（12分）