Question

数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设b_n=（n∈N^*），S_n=b₁+b₂+…+b_n，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有S_n＞总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由an+2-2an+1+an=0⇒{an}是等差数列．再有a1=8，a4=2找到其公差即可．
（2）利用（1）的结论对数列bn=（n∈N*）进行裂项相消求和，找出Sn=b1+b2+…+bn的表达式，再解不等式即可．
【解析】
（1）∵an+2-2an+1+an=0，
∴an+2-an+1=an+1-an（n∈N*）．
∴{an}是等差数列．设公差为d，
又a1=8，a4=a1+3d=8+3d=2，
∴d=-2．∴an=-2n+10．

（2）bn==
=（-），
∴Sn=b1+b2++bn=[（1-）+（-）++（-）]
=（1-）=．
假设存在整数m满足Sn＞总成立．
又Sn+1-Sn=-
=＞0，
∴数列{Sn}是单调递增的．
∴S1=为Sn的最小值，故＜，
即m＜8．又m∈N*，
∴适合条件的m的最大值为7．