Question

已知函数f（x）的定义域为[-2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（ ）

X	-2		4
f（x）	1	-1	1

A．
B．
C．
D．

Answer

由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到f（x）的单调性，结合函数的单调性求出不等式的解即a，b的关系，画出关于a，b的不等式表示的平面区域，给函数与几何意义，结合图象求出其取值范围．
【解析】
由导函数的图形知，
x∈（-2，0）时，f′（x）＜0；
x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0
∴f（x）在（-2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
∵f（2a+b）＜1
∴-2＜2a+b＜4
∵a＞0，b＞0
∴a，b满足的可行域为
表示点（a，b）与（-3，-3）连线的斜率的2倍
由图知当点为（2．，0）时斜率最小，当点为（0，4）时斜率最大
所以的取值范围为
故选A