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设函数f(x)=ax3+bx2-3a2x+1(a,b∈R)在x=x1,x=x2处...

设函数f(x)=ax3+bx2-3a2x+1(a,b∈R)在x=x1,x=x2处取得极值,且|x1-x2|=2.
(Ⅰ)若a=1,求b的值,并求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若a>0,求b的取值范围.
(Ⅰ)由题意f(x)=ax3+bx2-3a2x+1=x3+bx2-3x+1,求出其导数f'(x)=3x2+2bx-3,令f′(x)=0,求出极值点x=x1,x=x2利用|x1-x2|=2求出b值,并求f(x)的单调区间; (Ⅱ)不知a值,只知a>0,由题意知x1,x2为方程3x2+2bx-3a2=0的两根,得=2,求出a的范围,因g(a)=9a2-9a3,求出g(a)的单调区间,从而求出a与b的关系,最后根据a的范围确定b的范围. 【解析】 f'(x)=3ax2+2bx-3a2.①(2分) (Ⅰ)当a=1时,f'(x)=3x2+2bx-3; 由题意知x1,x2为方程3x2+2bx-3=0的两根,所以. 由|x1-x2|=2,得b=0.(4分) 从而f(x)=x2-3x+1,f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1). 当x∈(-1,1)时,f'(x)<0;当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f'(x)>0. 故f(x)在(-1,1)单调递减,在(-∞,-1),(1,+∞)单调递增.(6分) (Ⅱ)由①式及题意知x1,x2为方程3x2+2bx-3a2=0的两根, 所以.从而|x1-x2|=2⇔b2=9a2(1-a), 由上式及题设知0<a≤1.(8分) 考虑g(a)=9a2-9a3,.(10分) 故g(a)在单调递增,在单调递减,从而g(a)在(0,1]的极大值为. 又g(a)在(0,1]上只有一个极值,所以为g(a)在(0,1]上的最大值,且最小值为g(1)=0.所以,即b的取值范围为.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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