Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，使D为D^′，且平面D^′AE⊥平面ABCE

（Ⅰ）求证：AD^′⊥EB；
（Ⅱ）求二面角D^′-AC-B的大小；
（Ⅲ）求点C到面D^′BE的距离．

Answer

（Ⅰ）要证AD′⊥EB，只需证明EB⊥平面AD′E，只需证明AE⊥EB，MD′⊥BE即可；
（Ⅱ）过M作MN⊥AC于N，连接D′N，则∠MND′为二面角D′-AC-B的大小，通过解三角形即可求二面角D′-AC-B的大小；
（Ⅲ）利用VD′-BCE=VC-BED′，体积相等直接求点C到面D′BE的距离．
【解析】
如图所示：
（Ⅰ）证明：因为AE=EB=，AB=2，所以AB2=AE2+BE2，即AE⊥EB，
取AE的中点M，连接MD′，则AD=D′E⇒MD′⊥AE，
又平面D′AE⊥平面ABCE，可得MD′⊥平面ABCE，即得MD′⊥BE，
从而EB⊥平面AD′E，故AD′⊥EB            …（4分）
（Ⅱ）过M作MN⊥AC于N，连接D′N，则∠MND′为二面角D′-AC-B的大小，
MN==×=；DM=，
二面角D′-AC-B的大小为tan∠MND′==，
所以∠MND′=arctan； …（8分）
（Ⅲ）因为VD′-BCE=VC-BED′，
即，
=，
点C到面BED′的距离是0.5．…（12分）