Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃（1-S_n+1），求适合方程的n的值．
（Ⅲ）记c_n=（n-2）•a_n，是否存在实数M，使得对一切n∈N^*，c_n≤M恒成立，若存在，请求出M的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ） 当n=1时，可求出a1，当n≥2时，，两式相减可得从而{an}是以为首项，为公比的等比数列，即可求出通项公式；
（Ⅱ）先求出bn的通项公式，根据可求出的值，从而求出n的值；
（III）先求出cn的通项公式，然后根据cn+1-cn=-=≥0得n≤从而求出实数M，使得对一切n∈N*，cn≤M恒成立，最后求出最小值即可．
【解析】
（Ⅰ） 当n=1时，a1=S1，由，得．
当n≥2时，，，
∴，
即．
∴．
∴{an}是以为首项，为公比的等比数列．
故．  …（6分）
（Ⅱ）1-Sn=an=，bn=log3（1-Sn+1）=log3=-n-1，…（8分）

…（10分）
解方程得n=100…（12分）
（III）【解析】
cn=（n-2）•an=，
由cn+1-cn=-=≥0得n≤
∴c3＞c2＞c1，
当n≥3时，cn+1＜cn即c3＞c4＞c5＞…，又c3=
故存在实数M，使得对一切n∈N*，cn≤M恒成立M的最小值为．