Question

在直角坐标系xOy中，椭圆C₁：的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中右焦点F₂也是拋物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设，是否存在斜率为k （k≠0）的直线l与椭圆C₁交于A、B两点，且|AE|=|BE|？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据右焦点F2也是拋物线C2：y2=4x的焦点，且|MF2|=，可求出F2，根据抛物线的定义可求得点M的横坐标，并代入抛物线方程，可求其纵坐标；把点M代入椭圆方程，以及焦点坐标，解方程即可求得椭圆C1的方程；
（2）设AB中点P（x，y）和直线l的方程为y=kx+m（k≠0），由|AE|=|BE|等价于PE⊥AB，联立直线和椭圆方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理和△＞0即可求得k的取值范围．
【解析】
（1）由已知
得代入y2=4x 得，
即代入椭圆方程
又1=a2-b2 解得a2=4，b2=3，
故椭圆C1的方程为
（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），
代入得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
．
直线l与椭圆C，有两个不同公共点的充要条件是△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，
即4k2-m2+3＞0（*）
设AB中点P（x，y），则，
|AE|=|BE|等价于PE⊥AB，
即，
（1，k）为的一个方向向量，故，
代入（*）得，∵3+4k2≠0，∴4-（3+4k2）＞0，故，
因此存在合条件的直线l，其斜率k的范围为．