Question

已知梯形ABCD中，BC∥AD，，，G，E，F分别是AD，BC，CD的中点，且，沿CG将△CDG翻折到△CD'G．
（1）求证：EF∥平面AD'B；
（2）求证：平面CD'G⊥平面AD'G．

Answer

（1）要证EF∥平面AD'B，可通过证明EF∥D'B实现．
（2）要证平面CD'G⊥平面AD'G．可通过GC⊥平面AD'G实现．在△DGC中，根据勾股定理逆定理得出DG⊥GC从而GC⊥D'G，再结合GC⊥AG 即可证出GC⊥平面AD'G．
证明：（1）∵E，F分别是BC，CD的中点，即E，F分别是BC，CD'的中点，
∴EF为△D'BC的中位线．
∴EF∥D'B．                                                        …（2分）
又∵EF⊄平面AD'B，D'B⊂平面AD'B，…（4分）
∴EF∥平面AD'B．                                                 …（6分）
（2）∵G是AD的中点，，即AD=2，
∴DG=1．   又∵，，
∴在△DGC中，DG2+GC2=DC2∴DG⊥GC．                   …（9分）
∴GC⊥D'G，GC⊥AG．
∵AG∩D'G=G，
∴GC⊥平面AD'G．                                               …（12分）
又∵GC⊂平面CD'G，
∴平面CD'G⊥平面AD'G．                                         …（13分）