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已知函数f(x)=x2(x-a),其中a∈R.g(x)=f(x)+f'(x). ...

已知函数f(x)=x2(x-a),其中a∈R.g(x)=f(x)+f'(x).
(I)当函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为2时,求此直线在y轴上的截距;
(II)求证:g(x)既有极大值又有极小值;
(III)若g(x)取极大值和极小值对应的x值分别在区间(-2,-1)和(3,4)内,求实数a的取值范围.
(I)求出f(x)的导函数,求出f'(1)=3-2a,令其为2求出a的值,写出切线的方程,令方程中的x=0得到直线在y轴上的截距. (II)求出g′(x)=3x2-2ax+6x-2a,得到其判别式大于0恒成立,即证得g(x)既有极大值又有极小值 (III)根据题意得到g′(x)=3x2-2ax+6x-2a的根的分布情况,结合二次函数图象列出不等式,求出a的范围. 【解析】 (I)f(x)=x2(x-a)=x3-ax2 f'(x)=3x2-2ax, 所以所以3-2a=2得 所以f(1)= 所以切线的方程为4x-2y-3=0 令x=0得 所以此直线在y轴上的截距为. (II)因为g(x))=x3-ax2+3x2-2ax 所以g′(x)=3x2-2ax+6x-2a △=4a2+36>0 所以g′(x)=3x2-2ax+6x-2a有两个不等根, 所以g(x)既有极大值又有极小值; (III)因为g(x)取极大值和极小值对应的x值分别在区间(-2,-1)和(3,4)内, 所以即 解之得
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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