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已知{an}是递增数列,其前n项和为Sn,a1>1,且10Sn=(2an+1)(...

已知{an}是递增数列,其前n项和为Sn,a1>1,且10Sn=(2an+1)(an+2),n∈N+
(Ⅰ)求数列{an}的通项an
(Ⅱ)设bn=an-manfen5.com 满分网,若对于任意的n∈N+.,不等式manfen5.com 满分网恒成立,求正整数m的最大值.
(Ⅰ)令n=1代入10Sn=(2an+1)(an+2),求得a1的值,根据 ,转化为等差数列,可以求得数列{an}的通项an; (Ⅱ)把数列{an}的通项an代入bn=an-,要使得不等式恒成立只需 ≤最小值即可,转化为求某个数列的最值问题. 【解析】 (Ⅰ)∵10Sn=(2an+1)(an+3), ∴10a1=(2a1+1)(a1+2),得2a12-5a1+2=0, 解得a1=2,或 . 由于a1>1,所以a1=2. ∵10Sn=(2an+1)(an+2),∴10Sn=2an2+5an+2. 故10an+1=10Sn+1-10Sn=2an+12+5an+1+2-2an2-5an-2, 整理,得2(an+12-an2)-5(an+1+an)=0, 即(an+1+an)[2(an+1-an)-5]=0. 因为{an}是递增数列,且a1=2,故an+1+an≠0, 因此 . 则数列{an}是以2为首项,为公差的等差数列. 所以 . (Ⅱ)bn=an-, 不等式 = =. 设f(n)=, 则 = =. 所以f(n+1)>f(n),即当n增大时,f(n)也增大. 要使不等式 对于任意的n∈N*恒成立,只需 ≤f(n)min即可. 因为f(n)min=f(1)=,所以 , 即m≤. 所以,正整数m的最大值为8.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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