Question

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，在椭圆E上存在A，B两点关于直线l：y=x+1对称．
（Ⅰ）现给出下列三个条件：①直线AB恰好经过椭圆E的一个焦点；②椭圆E的右焦点F到直线l的距离为；③椭圆E的左、右焦点到直线l的距离之比为．
试从中选择一个条件以确定椭圆E，并求出它的方程；（注：只需选择一个方案答题，如果用多种方案答题，则按第一种方案给分）
（Ⅱ）若以AB为直径的圆恰好经过椭圆E的上顶点S，求b的值．

Answer

（Ⅰ）选择条件②运算量小一些，由椭圆E的右焦点F到直线l的距离为，利用点到直线的距离公式即可得c的值，再由离心率，即可求得a值，最后由椭圆a2=b2+c2，求的b值即可得椭圆方程
（Ⅱ）先由离心率，得a2=2b2，将椭圆方程化为，再由椭圆E上存在A，B两点关于直线l：y=x+1对称，知AB的中点（，）在直线：y=x+1上，联立直线AB和椭圆方程，利用韦达定理列方程可得m的值，最后利用以AB为直径的圆恰好经过椭圆E的上顶点S（0，b），，即AS⊥BS，即=0，利用韦达定理列方程即可得b的值
【解析】
（Ⅰ）选择条件②，∵椭圆（a＞b＞0）的离心率，
∴=，椭圆的右焦点坐标为（c，0）
∵右焦点F到直线l的距离为，
∴=，
∴c=3，a=3
∵a2=b2+c2，
∴b2=9
∴椭圆E的方程为
（Ⅱ）∵离心率
∴a2=2b2
∵A，B两点关于直线l：y=x+1对称，
∴直线AB的斜率为-1，设直线AB的方程为y=-x+m，代入椭圆方程得：（3b2）x2-4mb2x+2b2m2-2b4=0
∴△＞0时，x1+x2=，x1x2=
依题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵椭圆E上存在A，B两点关于直线l：y=x+1对称，
∴AB的中点（，）在直线：y=x+1上
∵=，==，
∴m=-3
∵椭圆E的上顶点S（0，b），以AB为直径的圆恰好经过椭圆E的上顶点S，即AS⊥BS，即=0，即（-x1，b-y1）•（-x2，b-y2）=0
∴x1x2+（b-y1）（b-y2）=x1x2+y1y2-b（y1+y2）+b2=2x1x2+（b+3）（x1+x2）+9+6b+b2=0
∴-4（b+3））+9+6b+b2=0，解得b=9，b=-3（舍去）
∴b=9