Question

已知函数
（Ⅰ）若函数在区间（）（其中m＞0）上存在极值，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证：[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．

Answer

（Ⅰ）求出函数的极值，在探讨函数在区间 （m，m+）（其中a＞0）上存在极值，寻找关于m的不等式，求出实数m的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式 恒成立，求出f（x）在x≥1时的最小值，把k分离出来，转化为求k的范围．
（Ⅲ）借助于（Ⅱ）的结论根据叠加法证明不等式．
【解析】
（Ⅰ）因为函数
所以f′（x）=-．极值点为f′（x）=0解得x=1
故m＜1＜m+，解得＜m＜1．
即答案为＜m＜1．
（Ⅱ）如果当x≥1时，f′（x）=-≤0故f（x）递增．
故f（x）≥f（1）=1
又不等式恒成立，
所以恒成立，所以k≤2
证明：（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，
即
令x=n（n+1），则
所以 ，
 ，
，
…
 ．
叠加得：ln[1×22×32×…n2×（n+1）]×
=
则1×22×32×…n2×（n+1）＞en-2，
所以：[（n+1）!]2＞（n+1）•en-2（n∈N*）．