Question

在平面直角坐标系中，对其中任何一向量X=（x₁，x₂），定义范数||X||，它满足以下性质：（1）||X||≥0，当且仅当X为零向量时，不等式取等号；（2）对任意的实数λ，||λX||=|λ|•||X||（注：此处点乘号为普通的乘号）；（3）||X||+||Y||≥||X+Y||．应用类比的方法，我们可以给出空间直角坐标系下范数的定义，现有空间向量X=（x₁，x₂，x₃），下面给出的几个表达式中，可能表示向量X的范数的是    （把所有正确答案的序号都填上）
（1）+2x₂²+x₃²（2） （3）  （4）．

Answer

根据已知中关于向量范数的定义，及所满足的性质：（1）||X||≥0，当且仅当X为零向量时，不等式取等号；（2）对任意的实数λ，||λX||=|λ|•||X||（注：此处点乘号为普通的乘号）；（3）||X||+||Y||≥||X+Y||．我们逐一分析题目中所给的4个表达式，判断是否同时满足所有性质，即可得到答案．
【解析】
（1）+2x22+x32满足||X||≥0，当且仅当X为零向量时，不等式取等号；
但不满足对任意的实数λ，||λX||=|λ|•||X||，故（1）不正确；
（2） 满足||X||≥0，当且仅当X为零向量时，不等式取等号；
不满足对任意的实数λ，||λX||=|λ|•||X||，故（2）不正确；
（3）  满足||X||≥0，当且仅当X为零向量时，不等式取等号；
不满足对任意的实数λ，||λX||=|λ|•||X||，故（3）不正确；
（4），满足||X||≥0，当且仅当X为零向量时，不等式取等号；
同时满足，对任意的实数λ，||λX||=|λ|•||X||，
即（4）同时满足向量X的范数的三个条件
故答案为：（4）．