Question

已知函数f（x）=ax²+ax和g（x）=x-a．其中a∈R且a≠0．
（1）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；
（2）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a的值；如果没有，请说明理由．

Answer

（1）设函数g（x）图象与x轴的交点坐标为（a，0），而点（a，0）也在函数f（x）的图象上，代入函数f（x）的解析式建立等式，解之即可求出a的值；
（2）依题意，f（x）=g（x），函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，则△＞0，求出a的范围，设A（x1，y1），B（x2，y2），求出AB以及点O到直线g（x）=x-a的距离，从而求出三角形的面积关于a的函数，根据a的范围求出面积的最值．
【解析】
（1）设函数g（x）图象与x轴的交点坐标为（a，0），
又∵点（a，0）也在函数f（x）的图象上，∴a3+a2=0．
而a≠0，∴a=-1．
（2）依题意，f（x）=g（x），即ax2+ax=x-a，
整理，得  ax2+（a-1）x+a=0，①
∵a≠0，函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，
∴△＞0，即△=（a-1）2-4a2=-3a2-2a+1=（3a-1）（-a-1）＞0．
∴-1＜a＜且a≠0．…（6分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，由①得，x1•x2=1＞0，．
设点O到直线g（x）=x-a的距离为d，
则，．
∴S△OAB=
=．
∵-1＜a＜且a≠0，∴当时，S△OAB有最大值，S△OAB无最小值．