Question

如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E．
求证：（1）AD=AE；（2）AB•AE=AC•DB．

Answer

（1）要证明AD=AE，只需证明∠ADE=∠AED；根据三角形的外角的性质和弦切角定理即可证明；
（2）要证明AB•AE=AC•DB，只需证明 ，根据△APB∽△CPA，得 ，根据△PBD∽△PEA，得 ，联立两式，可得出所求的结论．
证明：（1）∵∠ADE=∠APD+∠PAD，∠AED=∠CPE+∠C，
又∠APD=∠CPE，∠PAD=∠C．
∴∠ADE=∠AED．
∴AD=AE．

（2）∵∠APB=∠CPA，∠PAB=∠C，
∴△APB∽△CPA，得 ．
∵∠APE=∠BPD，∠AED=∠ADE=∠PDB，
∴△PBD∽△PEA，得 ．
∴．
∴AB•AE=AC•DB．