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设a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调函数. (1)求实数a的...

设a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调函数.
(1)求实数a的取值范围;
(2)设x≥1,f(x)≥1,且f(f(x))=x,求证:f(x)=x
(1)已知函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调函数,故f′(x)≥0或≤0在[1,+∞)上恒成立,用分离参数求最值即可.. (2)结合(1)中的单调性用反证法考虑. 【解析】 (1)f′(x)=3x2-a 若f(x)在[1,+∞)上是单调递减函数, 则须y′≤0,即α≥3x2恒成立, 这样的实数a不存在, 故f(x)在[1,+∞)上不可能是单调递减函数; 若f(x)在[1,+∞)]上是单调递增函数,则a≤3x2恒成立, 由于x∈[1,+∞),故3x2≥3,解可得a≤3, 又由a>0,则a的取值范围是0<a≤3; (2)(反证法)由(1)可知f(x)在[1,+∞)上只能为单调递增函数. 假设f(x)≠x,若1≤x<f(x),则f(x)<f(f(x))=x,矛盾; …(8分) 若1≤f(x)<x,则f(f(x))<f(x),即x<f(x),矛盾,…(10分) 故只有f(x)=x成立.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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