Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m（0＜m＜2）．
（Ⅰ）试问直线B₁D₁与AP能否垂直？并说明理由；
（Ⅱ）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角为60°；
（Ⅲ）若m=1，求平面PA₁D₁与平面PAB所成角的大小．

Answer

（I）分别求出两条直线所在的向量，再利用向量的有关运算判断两个向量的夹角，进而得到答案．
（II）求出直线所在的向量以及平面的法向量，再根据向量的有关运算表示出两个向量的夹角的正弦值，进而结合题意求出m的值．
（III）根据题意分别求出两个平面的法向量，再利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．
【解析】
（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
D1（0，0，2），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2），P（0，1，m），
所以，
．…（4分）
（Ⅱ）由题意可得：，．
又∵，
∴的一个法向量．
设直线AP与平面BDD1B1所成的角为θ，
则==，解得．
故当时，直线AP与平面BDD1B1所成角为60°．…（8分）
（Ⅲ）∵m=1，
∴P（0，1，1），
∴．
设平面PA1D1的法向量为，
所以，即，
所以可求得，
设平面PAB的法向量为，同理可求得．
∴，
故平面PA1D1与平面PAB所成角为60．…（12分）