Question

一动圆与已知⊙O₁：相外切，与⊙O₂：相内切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C；
（Ⅱ）若轨迹C与直线y=kx+m （k≠0）相交于不同的两点M、N，当点A（0，-1）满足||=||时，求m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由动圆与已知⊙O1：相外切，可得到|MO1|=1+R，由与⊙O2：相内切，可得，|MO2|=（2）-R，从而|MO1|+|MO2|=2．根据椭圆的定义可得M点的轨迹是以O1，O2为焦点的椭圆，故可求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）直线y=kx+m与椭圆的标准方程联立，消去y得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0，所以△=-12m2+36k2+12＞0⇒m2＜3k2+1．设P为MN的中点，则MN⊥AP，可得2m=3k2+1，从而可求m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）设动圆圆心为M（x，y），半径为R，则由题设条件，可知：
|MO1|=1+R，|MO2|=（2）-R，∴|MO1|+|MO2|=2．
由椭圆定义知：M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且，，b2=a2-c2=3-2=1，故动圆圆心的轨迹方程为．…（4分）
（Ⅱ）设P为MN的中点，联立方程组，⇒（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0．△=-12m2+36k2+12＞0⇒m2＜3k2+1 …（1）…（6分）
又
由MN⊥…（2）…（9分）．故．…（12分）