Question

设函数f（x）=（2x+1）ln（2x+1）．
（Ⅰ）求函数f （x）在点（0，f （0））处的切线方程；
（Ⅱ）求f （x）的极小值；
（Ⅲ）若对所有的x≥0，都有f（x）≥2ax成立，求实数a的取值范围．

Answer

（I）欲求在点（0，f（0））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）求出函数的导数，令导数大于0解出其增区间，令导数小于0解出其减区间，并列出如图的x变化时，f'（x），f（x）变化情况进行判断极值即可．
（Ⅲ）令g（x）=（2x+1）ln（2x+1）-2ax，则g'（x）=2ln（2x+1）+2-2a=2[ln（2x+1）+1-a]．令g'（x）=0，得ln（2x+1）=a-1，下面对a进行分类讨论：（1）当a≤1时，（2）当a＞1时，从而求得实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）的定义域为，又∵f'（x）=2ln（2x+1）+2，
∴k切线=f'（0）=2，切点为O（0，0），∴所求切线方程为y=2x．…（2分）
（Ⅱ） 设f'（x）=0，得ln（2x+1）=-1，得；f'（x）＞0，得ln（2x+1）＞-1，得；f'（x）＜0，得ln（2x+1）＜-1，得；
则．…（6分）
（Ⅲ）令g（x）=（2x+1）ln（2x+1）-2ax，
则g'（x）=2ln（2x+1）+2-2a=2[ln（2x+1）+1-a]．
令g'（x）=0，得ln（2x+1）=a-1，得；g'（x）＞0，得ln（2x+1）＞a-1，得；g'（x）＜0，得ln（2x+1）＜a-1，得；
（1）当a≤1时，a-1≤0，∵，
∴对所有x≥0时，都有，于是g'（x）≥0恒成立，
∴g（x）在[0，+∞）上是增函数．
又g（0）=0，于是对所有x≥0，都有g（x）≥g（0）=0成立．
故当a≤1时，对所有的x≥0，都有f（x）≥2ax成立．
（2）当a＞1时，a-1＞0，∵，
∴对所有，都有g'（x）＜0恒成立，
∴g（x）在上是减函数．
又g（0）=0，于是对所有，都有g（x）≤g（0）=0．
故当a＞1时，只有对仅有的，都有f（x）＜2ax．
即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥2ax．
综合（1），（2）可知实数a的取值范围（-∞，1]．…（12分）