Question

如图，在三棱锥S-ABC中，SA=AB=AC=BC=SC，0为BC的中点．
（I）求证：SO⊥面ABC；
（II）求异面直线SC与AB所成角的余弦值；
（III）在线段AB上是否存在一点E，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值为；若存在，求BE：BA的值；若不存在，试说明理由．

Answer

（I）由题意及所给的边长设SB=a，则SO=，AO=，SA=a，得到SO⊥OA，及利用线线垂直的判定定理得到线面垂直；
（II）由题意及图形特点以O为原点，以OC所在射线为x轴正半轴，以OA所在射线为y轴正半轴，以OS所在射线为z轴正半轴建立空间直角坐标系，
写出点的坐标，利用异面直线所成角的定义求出夹角；
（III）由题意属于开放性的题目，利用假设存在，利用条件对于坐标设出未知的变量，利用向量的知识解出变量的大小，进而求出二面角的大小．
【解析】
（Ⅰ）
连接SO，显然∴SO⊥BC，
设SB=a，则SO=，AO=，SA=a
∴SO2+OA2=SA2，∴SO⊥OA，
又∴BC∩OA=0，∴SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）以O为原点，以OC所在射线为x轴正半轴，以OA所在射线为y轴正半轴
以OS所在射线为z轴正半轴建立空间直角坐标系．
则有O（0，0，0），
，，，，
∴
∴，
∴，
∴异面直线SC与AB所成角的余弦值为，
（Ⅲ）假设存在E满足条件，设（0≤λ≤1），
则，
．
设面SCE的法向量为=（x，y，z），
由，得
，．
因为OA⊥面ABC，所以可取向量=（0，1，0）为面SBC的法向量．
所以，，
解得，．
所以，当BE：BA=1：2时，二面角B-SC-E的余弦值为．