Question

如图，S（1，1）是抛物线为y²=2px（p＞0）上的一点，弦SC，SD分别交x轴于A，B两点，且SA=SB．
（I）求证：直线CD的斜率为定值；
（Ⅱ）延长DC交x轴于点E，若|EC|=|DE|，求cos2∠CSD的值．

Answer

（1）将点（1，1）代入y2=2px，得2p=1，抛物线方程为y2=x，设直线SA的方程为y-1=k（x-1），C（x1，y1），与抛物线方程y2=x联立得：ky2-y+1-k=0．再由根与系数的关系能够导出直线CD的斜率为定值．
（2）设E（t，0），由|EC|=|DE|，得，知 ，解得k=2，所以直线SA的方程为y=2x-1，由此能求出cos∠CSD=cos∠ASB的值，利用二倍角公式即可求得结果．
【解析】
（1）将点（1，1）代入y2=2px，得2p=1
∴抛物线方程为y2=x
设直线SA的方程为y-1=k（x-1），C（x1，y1）
与抛物线方程y2=x联立得：ky2-y+1-k=0
∴y1+1=∴y1=-1

由题意有SA=SB，∴直线SB的斜率为-k
∴
∴；
（2）设E（t，0）
∵|EC|=|DE|，
∴
∴

∴k=2
∴直线SA的方程为y=2x-1
∴A（ ，0）
同理B（ ，0）
∴cos∠CSD=cos∠ASB=．
∴cos2∠CSD=2cos2∠ASB-1=-．