Question

已知函数，数列{a_n}满足a₁=1，．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1，求T_n；
（3）令，b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若对一切n∈N^*成立，求最小正整数m．

Answer

（1）根据题意列出递推公式，再由等差数列的定义求通项公式an．
（2）根据式子的特点进行变形，然后由（1）知数列为等差数列求Tn．
（3）把an代入bn整理后再裂项，然后求数列{bn}的前n和sn，再用放缩法和不等式恒成立问题，求m的值．
【解析】
（1）∵
∴
∴数列{an}是以为公差，首项a1=1的等差数列
∴
（2）Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+a2n-1a2n-a2na2n+1
=a2（a1-a3）+a4（a3-a5）+…+a2n（a2n-1-a2n+1）
=
=
=-
（3）当n≥2时，
当n=1时，上式同样成立
∴sn=b1+b2+…+bn=
=
∵恒有成立，
∵，即对一切n∈N*成立，
∴，解得  m≥2011，
∴m最小=2011