Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）-1，且当0＜x＜1时，都有f（x）＞1成立．
（1）判断并证明f（x）在定义域（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（9）=7，解不等式：f（x²+2x）＞4

Answer

（1）抽象函数的单调性的证明，需要特别的构造方法，本题中的特点是含有f（xy），因此在设出0＜x1＜x2之后想到
构造出：0＜＜1，可应用已知得到＞1，下面的证明过程就很自然了．
对于（2）的抽象不等式的解法，是想法脱去函数符号“f”，而利用（1）的结论很容易做到，转化得出一个不等式，进而解之即可．
【解析】
（1）函数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数．证明如下：
     设0＜x1＜x2，则 0＜＜1，于是有：＞1
      f（x1）==f（x2）+-1＞f（x2）+1-1=f（x2）
      即：f（x1）＞f（x2）．
      由函数的单调性定义可知：函数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数．
（2）由已知，f（3×3）=f（3）+f（3）-1=7，即得：f（3）=4，因此有
     f（x2+2x）＞4=f（3），又有（1）的结论以及函数f（x）的定义域为（0，+∞），得不等式组：
     ，解得：-3＜x＜-2或0＜x＜1
所以：（1）数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数
          （2）不等式f（x2+2x）＞4的解集为：{x|-3＜x＜-2或0＜x＜1}