Question

A、B两城相距30km，现计划在两城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城A的影响度与厂址到城A的距离的平方成反比（比例系数k为正数），对城B的影响度也与厂址到城B的距离的平方成反比，且当厂址在弧的中点时，对城B的影响度是对城A的影响度的四倍，
（1）试将总影响度y（对两城的影响度之和）表示成厂址到城A的距离x的函数；
（2）是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对两城的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据题意设出总影响度y与厂址到城A的距离x的函数关系，利用城A的比例系数k表示出城B的比例系数，确定出函数的解析式；
（2）利用导数作为工具求解该函数的最值，注意方程思想的运用．根据求解的导函数的零点讨论出函数的单调性，进行作答．
【解析】
（1）根据题意∠ACB=90°，设AC=x，则BC=，因此x∈（0，30）
且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为k，对城B的影响度为k′，
因此，总影响度，
 又因为垃圾处理厂建在弧AB的中点时，对城B的影响度是对城A的影响度的四倍，可得k′=4k，
所以，x∈（0，30）
（2）  由于=，
令y′=0，由于x∈（0，30），可以解出x=．
当x∈（0，）时y′＜0，y在x∈（0，）上单调递减，
当x∈（，30）时y′＞0，y在x∈（，30）上单调递增，
因此该函数在x=时取到最小值．
答：存在一点到城A的距离为km，使建在此处的垃圾处理厂对两城的总影响度最小．