Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足，（4ⁿ-1）a_n=3×4^n-1S_n，n∈N^*，设，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（I）求S_n；
（II）求证：．

Answer

（I）当n≥2时，利用递推公式an=Sn-Sn-1．可得是公比为1的等比数列，从而可求
（II）由（1）可得，代入3•4n-1Sn=（4n-1）an，可求an，bn，结合数列的特点考虑利用错位相减求Tn可证
【解析】
（I）当n≥2时，an=Sn-Sn-1．
∴当n≥2时，3•4n-1Sn=（4n-1）（Sn-Sn-1）⇒（4n-1-1）Sn=（4n-1-1）Sn-1，…（2分）
∴是公比为1的等比数列，
∴．…（5分）
（II）将代入3•4n-1Sn=（4n-1）an，得
．…（7分）
，.
．…（10分）
．…（12分）