Question

若函数f（x）=ax³-bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值，且函数f（x）图象上以点A（3，f（3））为切点的切线与直线5x-y+1=0平行．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）以点A（3，f（3））为切点的切线方程；
（III）若方程f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．

Answer

（I）利用函数的导数，以及函数的极值，求出a，b的值，即可求函数f（x）的解析式；
（II）求出函数在以点A（3，f（3））为切点的坐标，求出切线的斜率，即可求出直线方程；
（III）画出函数的图象，求出函数的最值，利用方程f（x）=k有3个解，即可求实数k的取值范围．
【解析】
（I）f′（x）=3ax2-b，直线5x-y+1=0的斜率为5，…（1分）
由题意：；解得…（4分）
∴．…（5分）
（II）∵，∵A（3，1），
∴切线方程为y-1=5（x-3），即5x-y-14=0．…（7分）
（III）由（I）得，f′（x）=x2-4，令f′（x）=0，得x=2，或x=-2．…（8分）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，-2） -2 （-2，+2） 2 （2，+∞）
f′（x） + - +
f（x） ↗ ↘    ↗

∴，
∴．…（10分）
函数的图象大致如右：
若方程f（x）=k有3个解，需使直线y=k与函数的图象有3个交点，
由图象可知：．…（12分）