Question

数列{a_n}的前n项和S_n，已知对任意的n∈N^*，点（n，S_n）均在函数y=ax²+x（a∈N^*）的图象上，则（ ）
A．a与a_n的奇偶性相同
B．n与a_n的奇偶性相同
C．a与a_n的奇偶性相异
D．n与a_n的奇偶性相异

Answer

本题主要考查数列通项an与前n项和Sn之间的关系及函数解析式．首先将点代入函数解析式确定an与Sn的关系，然后利用通过此式求得通项公式，最后分析n与an的奇偶性．本题易忽视判断a与a1奇偶性，即忽视a1与S1的关系．
【解析】
∵对任意的n∈N*，点（n，Sn），均在函数y=ax2+x（a∈N*）的图象上
∴Sn=an2+n，
当n=1时，a1=S1=a+1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=an2+n-[a（n-1）2+（n-1）]=2an-a+1，
当n=1时，2an-a+1=a1．
∴an=2an-a+1=（2n-1）a+1，
∴a与an的奇偶性相异．
故选C．