Question

在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∠C=90°，D，E分别为AC，AB边上的点，且DE∥BC，沿DE将△ADE折起（记为△A₁DE），使二面角A₁-DE-B为直二面角．
（1）当E点在何处时，A₁B的长度最小，并求出最小值；
（2）当A₁B的长度最小时，求二面角A₁-BE-C的大小．

Answer

（1）由已知，，∠CDA1为二面角A1-DE-B的平面角，∠CDA1=90°，设CD=x，表示出A1B，建立函数关系，求函数的最值即可．
（2）过D 作DH⊥AE于H，则可得∠A1HD是二面角A1-BE-C的平面角，在直角△A1HD中求解．
【解析】
（1）∵DE∥BC，∴CD⊥DE，A1D⊥DE，∴∠CDA1为二面角A1-DE-B的平面角，，∴∠CDA1=90°
设CD=x，AD=4-x，则A1B2=BC2+CD2+DA12=2x2-8x+25=2（x-2）2+17
当x=2时，即D为CA中点，此时EBA为中点时，AB有最小值
（2）过D 作DH⊥AE于H，∵A1D⊥ABC  连接A1H∴A1H⊥AE
∴∠A1HD是二面角A1-BE-C的平面角
tan∠A1HD===，∴∠A1HD=arctan．
二面角A1-BE-C的大小为．