Question

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0）、B（2，0）、三点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（-1，0），H（1，0），当△DFH内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在定直线上并求该直线的方程．

Answer

（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），将A（-2，0）、B（2，0）、代入椭圆E的方程，得到关于m，n的方程组，即可解得 ．最后写出椭圆E的方程 ；
（2）先设△DFH边上的高为h，由于 ，得到当点D在椭圆的上顶点时，h最大为 ，再设△DFH的内切圆的半径为R，因为△DFH的周长为定值6．所以 ，从而救是R的最大值，从而解决问题．
（3）将直线l：y=k（x-1）代入椭圆E的方程并整理．得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0．设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由根系数的关系，求得P，Q的坐标，下面证明P、Q两点重合，即证明P、Q两点的纵坐标相等．
【解析】
（1）设椭圆方程为mx2+my2=1（m＞0，n＞0），将A（-2，0）、B（2，0）、代入椭圆E的方程，得解得．∴椭圆E的方程（4分）
（2）|FH|=2，设△DFH边上的高为
当点D在椭圆的上顶点时，h最大为，所以S△DFH的最大值为．
设△DFH的内切圆的半径为R，因为△DFH的周长为定值6．所以，
所以R的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为（10分）
（3）将直线l：y=k（x-1）代入椭圆E的方程并整理．
得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0．
设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），
由根系数的关系，得．
直线AM的方程为：，它与直线x=4的交点坐标为，
同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为．
下面证明P、Q两点重合，即证明P、Q两点的纵坐标相等：
∵y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
∴
=
因此结论成立．
综上可知．直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．（16分）