Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}的首项为a₁=2，且4a₁是2a₂，a₃，的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若b_n=a_nlog₂a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．

Answer

（Ⅰ）欲求数列{an}的通项公式，因为数列{an}为等比数列，a1=2，所以只需求出q，根据4a1是2a2，a3，的等差中项，就可找到含q的方程，解出q即可．
（Ⅱ）先把（Ⅰ）所求数列{an}的通项公式代入bn=anlog2an，化简，即得数列{bn}的通项公式，再利用错位相减法，求和即可．
【解析】
（Ⅰ）∵数列{an}为等比数列，a1=2，
∴a2=a1q=2q，a3=a1q2=2q2
∵4a1是2a2，a3，的等差中项，∴8a1=2a2+a3，即，16=2或=4q+2q2
解得，q=2或q=-4
∵数列{an}各项均为正数，∴q=-4舍去，
∴q=2，∴列{an}的通项公式an=2n
（Ⅱ）把an=2n代入bn=anlog2an，得，bn=2nlog22n=n2n，
∴Sn=1×2+2×22+3×23+…+n2n      ①
2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n2n+1    ②
①-②，得-Sn=2+22+23+…+2n-n2n+1=-n2n+1=2n+1-2-n2n+1
∴Sn=-2n+1+2+n2n+1=（n-1）2n+1+2