Question

在数列{a_n}中，a_n+1+a_n=2n-44（n∈N^*），a₁=-23．
（1）求a₃，a₅的值，
（2）设c_n=a_n+2-a_n（n∈N⁺），b_n=a_2n-1（n∈N⁺），S_n为数列{b_n}前n项和，求{c_n}的通项，并求S_n取最小时的n值．

Answer

（1）由an+1+an=2n-44（n≥1），知an+2+an+1=2（n+1）-44，故an+2-an=2，由此能求出a3，a5的值．
（2）由an+2-an=2，知cn=2，又bn=a2n-1（n∈N+），从而bn=2n-25，令bn≤0，bn+1＞0，得n=12时Sn取最小值．
【解析】
（1）由an+1+an=2n-44（n≥1），
an+2+an+1=2（n+1）-44⇒an+2-an=2
又a2+a1=2-44⇒a2=-19，
同理得：a3=-21，a4=-17，a5=-19．（6分）
（2）由（1）得an+2-an=2，故cn=2，
又bn=a2n-1（n∈N+），
由cn=2得bn是首项为-23，公差为2的等差数列．
从而bn=2n-25，
令bn≤0，bn+1＞0，
得n=12时Sn取最小值．