Question

已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．
（1）当a=-1时，求f（x）的最大值；
（2）求证：；
（3）对f（x）图象上的任意不同两点P₁（x₁，x₂），P（x₂，y₂）（0＜x₁＜x₂），证明f（x）图象上存在点P（x，y），满足x₁＜x＜x₂，且f（x）图象上以P为切点的切线与直线P₁P₂平行．

Answer

（1）当a=-1时，f（x）=-x+lnx，易求得f′（x），且f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减；故可求得f（x）的最大值．
（2）由（1）知-x+lnx≤-1，∴lnx≤x-1，当取时，可得；把以上各式相加，可得证明．
（3）直线P1P2的斜率k由P1，P2两点坐标可表示为；
由（1）知-x+lnx≤-1，当且仅当x=1时取等号；可得+＜-1，整理可得＜，
同理，由，得；所以P1P2的斜率，
在x∈（x1，x2）上，有，可得结论．
【解析】
（1）当a=-1时，f（x）=-x+lnx，∴，且x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
故当x=1时，f（x）取最大值f（1）=-1．
（2）由（1）知-x+lnx≤-1，∴lnx≤x-1，取，可得；
以上各式相加得：ln（n+1）＜1+++…+（n∈N+）
（3）直线P1P2的斜率为；
由（1）知-x+lnx≤-1，当且仅当x=1时取等号，
∴，
同理，由，可得；
故P1P2的斜率，
又在x∈（x1，x2）上，，
所以f（x）图象上存在点P（x，y），满足x1＜x＜x2，且f（x）图象上以P为切点的切线与直线P1P2平行．