Question

四枚不同的金属纪念币A、B、C、D，投掷时，A、B两枚正面向上的概率为分别为，另两枚C、D正面向上的概率分别为a（0＜a＜1）．这四枚纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的枚数．
（1）若A、B出现一正一反与C、D出现两正的概率相等，求a的值；
（2）求ξ的分布列及数学期望（用a表示）；
（3）若有2枚纪念币出现正面向上的概率最大，求a的取值范围．

Answer

（1）设从M中任取一个元素是（3，5）的事件为B，则P（B）=，由此能求出从M中任取一个元素是（3，5）的概率．
（2）设从M中任取一个元素，x+y≥10的事件为C，有（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），由此能求出从M中任取一个元素x+y≥10的概率．
（3）ξ可能取的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，P（ξ=5）=，P（ξ=6）=，P（ξ=7）=，P（ξ=8）=，P（ξ=9）=，P（ξ=10）=，P（ξ=11）=，P（ξ=12）=，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
【解析】
（1）设从M中任取一个元素是（3，5）的事件为B，则P（B）=，
所以从M中任取一个元素是（3，5）的概率为，
（2）设从M中任取一个元素，x+y≥10的事件为C，有
（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）
则P（C）=，所以从M中任取一个元素x+y≥10的概率为．
（3）ξ可能取的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12
P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，P（ξ=5）=，P（ξ=6）=，P（ξ=7）=，
P（ξ=8）=，P（ξ=9）=，P（ξ=10）=，P（ξ=11）=，P（ξ=12）=，
∴ξ的分布列为

ξ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P

∴Eξ=
=7．